Masse-Feder Schwinger

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Wird eine Feder mit einer daran befestigten Masse aufgehängt und ausgelenkt, sprich auseinander gezogen, schwingt sie für eine gewisse Zeit nach, bis sie schlussendlich zum Stillstand kommt.

-> Die harmonische Schwingung:

Dieses Phänomen schauen wir uns für den Anfang mal genauer an. Bei der Betrachtung ignorieren wir dazu die Reibung und werfen einen Blick auf das Masse-Feder System:

Masse-Feder Schwinger(1)

Die Position s0 stellt dabei die Ruheposition der Masse dar nachdem sie an die Feder gehängt wurde, die Kraft FR die Rückstellkraft der Feder und die Kraft F ist die Zugkraft die wir in das System einbringen.

Laut der Gleichgewichtsbedingung muss die Summe aller Kräfte in einem System null ergeben:

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Also werden jetzt die Kräfte eingesetzt:

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Jetzt lautet die Formel für die Kraft wie folgt:

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Die Rückstellkraft einer Feder hängt von der Auslenkung, also der Streckung, der Feder und u.a. vom Material und Form der Feder ab. Die Materialeigenschaften einer Feder bekommen den Formelbuchstaben c. Laut dem hookschen Gesetz ist die Rückstellkraft einer Feder proportional abhängig von der Auslenkung und der Federkonstante:

Latex formula

Die Gleichung nimmt nun also folgende Form an:

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Jetzt ist aber a die zweite Ableitung des Weges s nach der Zeit, sodass sich die Gleichung wie folgt umschreiben lässt:

Latex formula

Nun hat sich die Gleichung in eine lineare homogene Differentialgleichung (DGL) zweiter Ordnung verwandelt, die es nun zu lösen gilt.
Hierfür wird die Gleichung erst einmal sortiert und s“ normiert:

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Das Lösen einer homogenen DGL zweiter Ordnung ist zum Glück nicht schwer und lässt sich sich mit Hilfe der PQ-Formel realisieren.
Wir erinnern uns, dass sich mit der PQ-Formel quadratische Terme in der Form

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durch folgende Gleichung

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lösen lassen. Die DGL wird dem entsprechend wie eine quadratische Gleichung behandelt. Die Faktoren vor der ersten und der nullten Ableitung stellen dabei die Variablen p und q dar. Der Buchstabe q wird dabei durch den Ausdruck c/m ersetzt. Eine erste Ableitung existiert nicht, sodass p den Wert 0 an nimmt:

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Zusammen gefasst kommt folgendes heraus:

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Unter der Wurzel steht nun ein negativer Term. Mit der normalen Mathematik kann man keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Aus diesem Grund müssen wir jetzt komplex weiter rechnen.
Durch Anwenden der Wurzelgesetze kommt man schließlich auf folgenden Ausdruck:

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Nun gibt es für DGL zweiter Ordnung mit einem komplexen Wurzelterm folgenden Lösungsansatz:

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Der Faktor a lautet bei uns 0 und der Faktor b ist der Betrag des Wurzelterms, sodass die Gleichung so aussieht:

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Mit dieser Funktion lässt sich nun zu der Ort der Masse zu jedem Zeitpunkt bestimmen.
Jetzt müssen noch die Koeffizienten C1 und C2 bestimmt werden. Hierfür wird die Funktion einmal abgeleitet, sodass man zwei Funktionen für zwei unbekannte Variablen hat. Das e0 ergibt 1 und kann dem entsprechend weg gelassen werden:

Latex formula

Die beiden Funktionen beschreiben den Weg und die Geschwindigkeit der Masse über die Zeit.
Sind nun zwei Anfangsbedingungen s(0) und s'(0) gegeben, so kann man die beiden Anfangsbedingungen in die Gleichungen einsetzen:

Latex formula
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Nun können die Gleichungen nach C1 und C2 umgestellt werden:

Latex formula
Latex formula

Jetzt kann die Gleichung mit einem Mathematikprogramm wie Scilab berechnet und geplottet werden. Hierfür habe ich ein kleines Skript geschrieben, welches alle Berechnungen durchführt:

Masse-Feder Schwinger(2)

Das Skript gibt am Ende einen Plot aus, der die Bewegung der Feder über die Zeit darstellt:

Masse-Feder Schwinger(3)

Wie man sieht, schwingt die Masse kontinuierlich um den Nullpunkt herum. Durch ändern der Federkonstante oder der Masse kann die Schwingung gestreckt oder gestaucht werden.

-> Die gedämpfte Schwingung:

Laut der Theorie würde die Masse nun ewig weiter schwingen. Wer aber schon einmal so etwas beobachtet hat weiß, dass die Auslenkung der Feder mit der Zeit kleiner wird und die Masse irgendwann stehen bleibt. Aber woran genau liegt das?
Wir erinnern uns das wir bei den bisherigen Versuchen die Reibung außen vor gelassen haben. Jetzt ist es in der Realität aber so, dass Reibung existiert und dem entsprechend wirkt immer eine Reibungskraft entgegen der aufgebrachten Kraft:

Masse-Feder Schwinger(4)

Dadurch ändert sich natürlich auch die Kräftegleichung, da eine zusätzliche Kraft mit im Spiel ist:

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Da sich das Pendel relativ langsam bewegt, kann man mit der Stokes Reibung rechnen. Hätte man schnelle Bewegungen müsste man auf die Newton Reibung wechseln, was die ganze Rechnung unheimlich kompliziert machen würde.
Die Formel für die Stokes Reibung lautet wie folgt:

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Der Buchstabe η steht für die dynamische Viskosität des Fluids durch welches der Körper gleitet. Das v steht für die Geschwindigkeit des Körpers und das 6πr ist der Reibungskoeffizient des Körpers (hier der einer Kugel).
Da das Gesetz von Stokes in erster Linie nur die Reibung von sphärischen Körpern, sprich Kugeln, beschreibt, nehmen wir für unseren Fall eine Kugel an die durch das Fluid „Luft“ gleitet. Der Einfachheit halber fasse ich die Gleichung wie folgt zusammen (und da sich die Werte im Laufe der Betrachtung nicht ändern werden):

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Jetzt ist v aber die erste Ableitung des Weges s nach der Zeit und dem entsprechend sieht die neue Formel so aus:

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Anschließend wird s“ normiert:

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Diese DGL kann nach dem selben Verfahren wie vorhin gelöst werden, allerdings existiert nun ein weiterer Term, weswegen die Gleichung nun so aussieht:

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Für die weitere Vorgehensweise muss man sich den Wurzelterm (Diskriminante)

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etwas genauer anschauen.

Ist der Ausdruck größer als 0 kommt keine Schwingung zustande, da die aufgebrachte Kraft nicht ausreicht um die Dämpfung zu überwinden. Stattdessen bewegt sich das System langsam in seine Ausgangslage zurück.

Wenn die Diskriminante genau 0 ist, hat man den Grenzfall erwischt, wo die Dämpfung gerade noch so groß ist um eine Schwingung zu verhindern. Dieses Verhalten wird verlangt, wenn ein System möglichst schnell in seine Ruhelage zurück kehren soll (z.B. die Stoßdämpfer eines Autos).

Wenn der Term unter der Wurzel kleiner als 0 ist, ist die Diskriminante komplex. Wenn dieser Fall eintrift, beginnt das System zu schwingen. Der Dämpfungskoeffizient β/m bestimmt dabei wie schnell die Schwingung abklingt.

Für das weitere Vorgehen nehmen wir an, dass eine Schwingung zu Stande kommt, sprich die Diskriminante komplex wird.
Die fertige Gleichung sieht dann folgendermaßen aus:

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Jetzt wird die Gleichung wieder zwei mal differenziert und die Anfangswerte eingesetzt. Dadurch lassen sich die Koeffizienten C1 und C2 bestimmen.
Das Ableiten dieser Funktion stellt schon einen erheblichen Aufwand dar, da zwei mal die Produktregel und dazu noch die Kettenregel angewandt werden muss.

 

Dokumentation:

 

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2 thoughts on “Masse-Feder Schwinger
  1. Hallo Kampi,
    Ich habe mal eine ähnliche Simulation gemacht. Wenn es dich interessiert, kannst du die Daten herunterladen. Es ist auch eine Doku dabei. Zum Starten einfach das Verzeichnis zum aktuellen MATLAB Pfad machen und „DGLSolver“ starten. Viel Spass

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